关于广义 Stokes 定理

Published on: 2026-06-16

Written by: Siriuns
description: 从stokes到形式与向量, 再到升调/降调/Hodge星算子

广义 Stokes 定理

我们知道, 曲面积分和曲线积分有三个常见公式 Green/Stokes/Gauss, 各自是:

$$\begin{aligned} \oint_{\partial D} P \dd x+Q \dd y &= \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \dd x\dd y & \\ \oint_{\partial S} \mathbf{X} \cdot \bm{\tau}\dd s &= \iint_S (\nabla\times \mathbf{X})\cdot \mathbf n \dd S &&= \iint_S \operatorname{curl} \mathbf{X}\cdot \mathbf{n} \dd S \\ \iint_{\partial \Omega} \mathbf{X} \cdot \mathbf n\dd S &= \iiint_\Omega \nabla\cdot \mathbf{X} \dd V &&= \iiint_\Omega \operatorname{div}\mathbf{X} \dd V \end{aligned}$$

而这三个公式是可以用 广义Stokes公式 统一起来的, 该公式形式如下:

$$\int_{\partial D} \omega = \int_{D} \dd\omega$$

该公式涉及 k-形式/k-向量, 还有 边界算子 $\partial$ 和 外微分算子 $\dd$, 而要想通过该公式推出前三个公式则需要了解 Hodge星 $\star$ /升调 $\sharp$ /降调 $\flat$, 这些符号的定义还涉及对形式和向量的 内积.

关于形式

形式符号化的表示是: $\omega \in V^* = \mathrm{Hom}(V, \mathbb{R})$.

首先我们都知道什么是 向量, 假设我们有向量空间 $V$, 而所谓 形式 是一个把 $V$ 中向量映射为实数的线性函数, 形式的所在空间我们称之为 对偶空间 $V^*$.

举个例子, $\dd x$ 和 $\dd y$ 在微分形式中被认为是一个1-形式. 一般高数中 $\int_{L} P\dd x + Q\dd y$ 的 $\dd x, \dd y$ 解释成对某点 $A$ 和临近 $A$ 的下一点 $A'$ 在 $x, y$ 方向上的有向距离, 这个过程就是从向量到实数的一个映射, 而微分形式将这个过程抽象了出来.

关于 k-形式, k-向量 以及 楔积

楔积 $\wedge$ 是用来将形式与形式相连, 将向量与向量相连的符号, 其具有/满足 结合律, 反交换性, 双线性, 符号化表达如下, 设 $X, Y, Z$ 为形式/向量, 用 $\operatorname{deg} Z = |Z| = k$ 来表示其阶数, $p, q$ 为数:

$$\begin{aligned} X \wedge Y &= (-1)^{x+y}\, Y \wedge X \\ (X \wedge Y) \wedge Z &= X \wedge (Y \wedge Z) \\ (p \cdot X + q \cdot Y) \wedge Z &= p \cdot (X \wedge Z) + q \cdot (Y \wedge Z) \\ Z \wedge (p \cdot X + q \cdot Y) &= p \cdot (Z \wedge X) + q \cdot (Z \wedge Y) \end{aligned}$$

k-形式/k-向量 就是按照一定顺序用 楔积 将 $k$ 个 1-形式/1-向量 连接起来得到的东西, 其所在空间我们记为 $\Lambda^k V$ 和 $\Lambda^k V^*$. 从上面的 反交换性 中能看出, 顺序是重要的.

k-向量 很好理解, 只要把 $k$ 个向量按照一定顺序连接起来即可, 可以理解成有向 $k$ 维体积元. 而在一个定向空间 $V$ 中, 若 $k = \mathrm{dim} V$, 则可以说 k-向量 是正定向或是负定向的.

k-形式 则是将 k-向量 映射到 $\mathbb{R}$ 的线性映射. 其计算方法如下:

$$(\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_k)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) = \mathrm{det}(\alpha_i(v_j))$$

举个常见的例子, 2-形式 $\mathbf{n} \dd S$ 可以写作 $(\dd y \wedge \dd z, \dd z \wedge \dd x, \dd x \wedge \dd y)$.

关于 边界算子 $\partial$ 与 外微分算子 $\dd$

边界算子 $\partial: C_k(M) \to C_{k-1}(M)$, 将 $k$ 维定向区域 $D$ 映射为其 $k-1$ 维边界 $\partial D$, 并诱导其的定向. 也就是说, 对于 $\partial D$ 中的一点 $p$, $v \in T_p (\partial D)$ 定向为正, 当且仅当 $T_p D$ 中 $n \wedge v$ 定向为正, $n$ 为 $p$ 点外法向量.

外微分算子 $\dd: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$, 将 $k$ 阶微分形式 $\omega$ 映射为 $k+1$ 阶微分形式 $\dd \omega$. 此处 微分形式 $\omega: p \mapsto \omega_p,\, \omega_p \in \Lambda^k(T^*_pM)$ 将一点 $p$ 映到 $p$ 点切空间 $T^*_p M$ 的 k-形式 上. 外微分算子 $\dd$ 具有如下性质, 注意, 函数是 0-形式:

$$\begin{aligned} \dd(\alpha \wedge \beta) &= \dd\alpha \wedge \beta + (-1)^{|\alpha|} \alpha \wedge \dd \beta \\ \dd^2 &= 0 \end{aligned}$$

关于 升调 $\sharp$, 降调 $\flat$ 与 Hodge $\star$

我们不难发现, 在之前我们学习的 $\operatorname{curl}X, \operatorname{div}X$ 都不是形式, 都不能直接代入广义斯托克斯公式, 如果我们在空间上定义了内积, 我们可以借助三个工具 $\sharp, \flat, \star$ 将这两个东西转化形式, 关于内积我们下个章节介绍.

Hodge 星算子的定义如下:

$$\star: \Lambda^k V^* \to \Lambda^{n - k} V^*, \\ \forall \alpha, \beta \in \Lambda^k V^*, \alpha \wedge \star \beta = \langle \alpha, \beta \rangle \operatorname{vol}.$$

其中, $n = \operatorname{dim} V$, $\operatorname{vol}$ 是 n-形式, 其由该条件决定: 设 $(e_1, \cdots, e_n)$ 为一组定向的标准正交基, 则 $\operatorname{vol}(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = 1$.

另外两个工具

$$\begin{aligned} \sharp: \Lambda^k V^* \to \Lambda^k V \\ \flat: \Lambda^k V \to \Lambda^k V^* \end{aligned}$$

可以如下定义:

$$\begin{aligned} \langle \alpha^\sharp, w\rangle &= \alpha(w) \\ \langle v, w\rangle &= v^\flat(w) \end{aligned}$$

同时还有非常对偶的性质:

$$\begin{aligned} \langle\alpha,\beta\rangle&=\beta(\alpha^\sharp) \\ \langle v^\flat,\beta\rangle&=\beta(v) \end{aligned}$$

借助这三个工具, 就有:

$$\begin{aligned} \operatorname{curl}X&=\bigl(\star d(X^\flat)\bigr)^\sharp \\ \operatorname{div}X&=\star d\star(X^\flat) \end{aligned}$$

于是我们就能从 广义斯托克斯定理 推出 Green/Stokes/Gauss 这三个公式.

关于内积

我们在实数域上讨论. 一般我们讨论的内积是一个函数 $\langle\cdot,\cdot\rangle: V\times V\to \mathbb{R}$, 满足 双线性, 对称性, 正定性. 而我们可以将内积扩张到 k-向量和k-向量/k-形式和k-形式 之间, 首先扩展到 k-向量:

$$\langle v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, w_1 \wedge \cdots \wedge w_k \rangle = \operatorname{det}(\langle v_i, w_j \rangle)$$

而后我们基于 k-向量 上的内积, 扩张到 k-形式 上:

$$\langle\alpha,\beta\rangle=\langle\alpha^\sharp,\beta^\sharp\rangle$$